왜 GPS는 상대성 이론으로 보정하지 않으면 위치가 틀어질까?

위성은 원자시계로 잰 정확한 시각을 담은 신호를 계속 보내요. 수신기는 신호를 받은 시각과 보낸 시각의 차이에 빛의 속력(초속 약 30만 km)을 곱해 위성까지의 거리를 구해요. 수신기의 시계는 원자시계만큼 정확하지 않아서, 위치의 세 좌표와 수신기 시계의 오차라는 네 가지 모르는 값을 함께 풀려고 적어도 위성 4개의 신호를 써요. 빛은 10억분의 1초(1 ns) 동안 약 30 cm를 가므로, 시각이 100만분의 1초(1 μs)만 어긋나도 거리는 약 300 m 틀어져요.

첫째 효과는 특수 상대성 이론이 말하는 '빠르게 움직이는 시계는 느리게 간다'예요. GPS 위성은 초속 약 3.9 km로 움직여서, 지상에서 비교하면 위성 시계가 하루에 약 7 μs 느려져요.

둘째 효과는 일반 상대성 이론이 말하는 '중력이 약한 곳의 시계는 빨리 간다'예요. 위성은 지구 중력이 더 약한 높은 곳에 있어서 위성 시계가 하루에 약 45 μs 빨라져요. 두 효과를 합치면 위성 시계는 지상 시계보다 하루에 약 38 μs 빨리 가요. 빛은 38 μs 동안 약 11 km를 가니, 보정하지 않으면 하루 만에 킬로미터 단위의 거리에 해당하는 시각 차이가 쌓여요. 몇 분만 지나도 수십 ns가 어긋나 길 찾기에 필요한 정밀도를 벗어나요.

그래서 GPS 위성 시계는 발사 전에 일부러 조금 느리게 맞춰 둬요. 기준 진동수 10.23 MHz를 100억분의 약 4.5만큼 낮춘 10.22999999543 MHz로 맞추면, 궤도에 올라갔을 때 지상에서 보기에 정확히 10.23 MHz가 돼요. 상대성 이론은 먼 우주에서만 쓰이는 이론이 아니라 우리가 매일 길을 찾을 때 쓰는 공학이에요.